Bei Zahlenpaaren treten zwei Fragen besonders häufig auf: Was ist die größte Zahl, die beide Zahlen teilt, also der größte gemeinsame Teiler, und was ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches beider Zahlen ist, also das kleinste gemeinsame Vielfache? Beide Größen sind wichtig für das Kürzen von Brüchen, wiederkehrende Zeitabläufe und Übersetzungsverhältnisse.
So funktioniert es
Der Rechner bestimmt den größten gemeinsamen Teiler mit dem euklidischen Algorithmus. Dabei wird die größere Zahl wiederholt durch den Rest ihrer Division durch die kleinere ersetzt, bis der Rest null ist. Anschließend wird das kleinste gemeinsame Vielfache mithilfe der Beziehung zwischen beiden Größen berechnet.
Die Formel
Euklidischer Algorithmus: ggT(a, b) = ggT(b, a mod b), bis b = 0 gilt. Er gehört zu den ältesten Algorithmen, die noch heute regelmäßig verwendet werden, und wurde bereits um 300 v. Chr. beschrieben.
Rechenbeispiel
Für 36 und 60 gilt: 60 mod 36 = 24, 36 mod 24 = 12 und 24 mod 12 = 0. Daher ist der ggT = 12 und das kgV = 36 × 60 ÷ 12 = 180.
Häufige Fragen
Wofür wird das kleinste gemeinsame Vielfache praktisch verwendet?
Es hilft dabei, den gemeinsamen Zeitpunkt wiederkehrender Abläufe zu bestimmen. Fährt ein Bus alle 36 Minuten und ein anderer alle 60 Minuten, treffen ihre Fahrpläne alle kgV(36,60) = 180 Minuten zusammen. Dasselbe Prinzip gilt für Wartungsintervalle, Zahnräder und gemeinsame Nenner.
Was bedeutet es, wenn der größte gemeinsame Teiler 1 ist?
Dann sind die beiden Zahlen teilerfremd. Sie besitzen außer 1 keinen gemeinsamen Teiler. Ein Bruch aus diesen beiden Zahlen ist bereits vollständig gekürzt, und ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches entspricht ihrem Produkt.
Wie hilft der größte gemeinsame Teiler beim Kürzen von Brüchen?
Teilen Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler. Beim Bruch 36/60 ist der ggT gleich 12. Durch die Division beider Werte durch 12 erhält man unmittelbar 3/5.
Die eingegebenen Werte müssen ganze Zahlen sein. Bei negativen Zahlen werden der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache üblicherweise als positive Werte angegeben.