Die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 tritt überall dort auf, wo eine Kurve eine Gerade schneidet — etwa bei Wurfbewegungen, der Gewinnmaximierung oder in geometrischen Aufgaben. Dieser Rechner bestimmt sofort beide Lösungen, einschließlich komplexer Nullstellen, wenn die Parabel die x-Achse nicht berührt.
So funktioniert es
Geben Sie die Koeffizienten a, b und c ein. Der Rechner berechnet die Diskriminante b² − 4ac: Ist sie positiv, gibt es zwei reelle Lösungen; ist sie null, gibt es eine doppelte reelle Lösung; und ist sie negativ, entsteht ein konjugiert komplexes Lösungspaar, das vollständig ausgegeben wird.
Die Formel
a, b und c sind die Koeffizienten von x², x und dem konstanten Term. Der Koeffizient a darf nicht null sein, da die Gleichung sonst linear wäre. Die Diskriminante D = b² − 4ac bestimmt die Art der Lösungen.
Rechenbeispiel
Für x² − 3x + 2 = 0 gilt: D = 9 − 8 = 1. Damit ist x = (3 ± 1) ÷ 2, also lauten die Lösungen 2 und 1. Kontrolle: (x − 2)(x − 1) = x² − 3x + 2.
Häufige Fragen
Was bedeutet eine negative Diskriminante?
Sie bedeutet, dass die Parabel die x-Achse nicht schneidet und daher keine reellen Lösungen existieren. Stattdessen erhält man zwei komplexe Lösungen der Form p ± qi, die insbesondere in Technik und Physik vollkommen gültig sind.
Ist Faktorisieren oder die quadratische Lösungsformel besser?
Das Faktorisieren ist praktisch, wenn die Lösungen offensichtliche ganze Zahlen sind. In allen anderen Fällen ist die quadratische Lösungsformel meist geeigneter, da sie immer funktioniert, auch wenn sich der Ausdruck nicht einfach faktorisieren lässt.
Was sagen Summe und Produkt der Lösungen aus?
Nach den Formeln von Vieta ist die Summe der Lösungen gleich −b/a und ihr Produkt gleich c/a. Dies ist eine schnelle Möglichkeit zur Kontrolle. Bei x² − 3x + 2 haben die Lösungen 2 und 1 tatsächlich die Summe 3 und das Produkt 2.
Achten Sie darauf, dass der Koeffizient a nicht null ist, und geben Sie die Vorzeichen der Koeffizienten korrekt ein. Komplexe Ergebnisse sind mathematisch gültige Lösungen.