Deux questions reviennent constamment lorsqu’on travaille avec une paire de nombres : quel est le plus grand nombre qui les divise tous les deux, le PGCD, et quel est le plus petit nombre dont ils sont tous les deux des diviseurs, le PPCM ? Ces deux notions interviennent dans la simplification des fractions, les problèmes de cycles et les rapports d’engrenages.
Comment ça marche
La calculatrice détermine le PGCD à l’aide de l’algorithme d’Euclide : elle remplace successivement le plus grand nombre par le reste de sa division par le plus petit, jusqu’à ce que le reste soit nul. Elle calcule ensuite le PPCM grâce à la relation reliant les deux valeurs.
La formule
Algorithme d’Euclide : PGCD(a, b) = PGCD(b, a mod b), jusqu’à ce que b soit égal à zéro. Il s’agit de l’un des plus anciens algorithmes encore utilisés quotidiennement, décrit vers 300 avant notre ère.
Exemple détaillé
Pour 36 et 60 : 60 mod 36 = 24, 36 mod 24 = 12 et 24 mod 12 = 0. Le PGCD est donc égal à 12, et le PPCM vaut 36 × 60 ÷ 12 = 180.
Questions fréquentes
À quoi sert concrètement le PPCM ?
Il sert à déterminer quand plusieurs cycles se rencontrent. Si un bus passe toutes les 36 minutes et un autre toutes les 60 minutes, ils passeront ensemble toutes les PPCM(36,60) = 180 minutes. Le même raisonnement s’applique aux calendriers de maintenance, aux engrenages et aux dénominateurs communs.
Que signifie un PGCD égal à 1 ?
Cela signifie que les deux nombres sont premiers entre eux : ils ne possèdent aucun facteur commun autre que 1. Une fraction formée avec ces deux nombres est déjà irréductible, et leur PPCM est simplement égal à leur produit.
Comment le PGCD permet-il de simplifier une fraction ?
Il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Par exemple, pour 36/60, le PGCD est 12 : en divisant les deux termes par 12, on obtient immédiatement 3/5.
Les valeurs saisies doivent être des nombres entiers. Pour les nombres négatifs, le PGCD et le PPCM sont généralement exprimés sous forme positive.